Chapter 4: Complex Numbers and Quadratic Equations

Ans:

$\Rightarrow $ $(5i)\left( \dfrac{-3}{5}i \right)=-5\times \dfrac{3}{5}\times i\times i$

$=-3{{i}^{2}}$

$=-3(-1)$       $\left[ {{i}^{2}}=-1 \right]$

$=3$

Ans:

$\Rightarrow $${{i}^{9}}+{{i}^{19}}={{i}^{4\times 2+1}}+{{i}^{4\times 4+3}}$

$={{\left( {{i}^{4}} \right)}^{2}}\cdot i+{{\left( {{i}^{4}} \right)}^{4}}\cdot {{i}^{3}}$

$=1\times i+1\times (-i)\quad \left[ {{i}^{4}}=1,{{i}^{3}}=-i \right]$

$=i+(-i)$

$=0$

Ans:

$\Rightarrow $${{i}^{  -  39}}$$=  {{i}^{-  4  \times   9  -  3}}  =  {{\left( {{i}^{4}} \right)}^{-  9}}.{{i}^{-  3}}$

$=  {{\left( 1 \right)}^{-9}}.{{i}^{-  3}}    \left[ {{i}^{4}}  =  1 \right]$

$=  \dfrac{1}{{{i}^{3}}}  =  \dfrac{1}{-  i}      \left[ {{i}^{3}}  =  -  i \right]$

$=  \dfrac{-  1}{i}  \times   \dfrac{i}{i}  $$=  \dfrac{-  i}{{{i}^{2}}}  =  \dfrac{-  i}{-  1}  =  i      \left[ {{i}^{2}}  =  -  1 \right]$

Ans:

$\Rightarrow $$3\left( 7  +  i7 \right)  +  i\left( 7  +  i7 \right)  =  21  +  21i  +7i  +7{{i}^{2}}$

$=  21  +  28i  +7\times \left( -  1 \right)        \left[ \because   {{i}^{2}}  =  -  1 \right]$

$=  14  +  28i$

Ans:

\[\Rightarrow \left( 1  -  i \right)  -  \left( -  1  +  i6 \right)  \]

\[=  1  -  i  +  1  -  6i\]

\[=2  -  7i\]

Ans:

$\Rightarrow   \left( \dfrac{1}{5}  +  i\dfrac{2}{5} \right)  -  \left( 4  +  i\dfrac{5}{2} \right)  $

$=  \dfrac{1}{5}  +  \dfrac{2}{5}i  -  4  -  \dfrac{5}{2}i$

$=  \left( \dfrac{1}{5}  -  4 \right)  +  \left( \dfrac{2}{5}  -  \dfrac{5}{2} \right)i$

$=  \left( \dfrac{1  -  \left( 4  \times   5 \right)}{5} \right)  +  \left( \dfrac{\left( 2  \times   2 \right)  -  \left( 5  \times   5 \right)}{5  \times   2} \right)i$

$=  -  \left( \dfrac{1  -  20}{5} \right)  +  \left( \dfrac{4  -  25}{10} \right)i$

$=  -  \dfrac{19}{5}  +  \left( \dfrac{-  21}{10} \right)i$

$=  -  \dfrac{19}{5}  -  \dfrac{21}{10}i$

Ans:

$\Rightarrow $$\left[ \left( \dfrac{1}{3}  +  i\dfrac{7}{3} \right)  +  \left( 4  +  i\dfrac{1}{3} \right)  -  \left( -  \dfrac{4}{3}  +  i \right) \right]$

$\dfrac{1}{3}  +  \dfrac{7}{3}i  +  4  +  \dfrac{1}{3}i  +  \dfrac{4}{3}  -   i$

$=\left( \dfrac{1}{3}  +  4  +  \dfrac{4}{3} \right)  +  \left( \dfrac{7}{3}  +  \dfrac{1}{3}  -  1 \right)i$

$=  \left( \dfrac{1  +  \left( 4  \times   3 \right)  +  4}{3} \right)  +  \left( \dfrac{7  +  1  -  \left( 1  \times   3 \right)}{3} \right)i$

$=  \left( \dfrac{1  +  12  +  4}{3} \right)  +  \left( \dfrac{7  +  1  -  3}{3} \right)i$

$a  +  ib:$\[=  \dfrac{17}{3}  +  i\dfrac{5}{3}\]

Ans:

$\Rightarrow $\[{{\left( 1  -  i \right)}^{4}}  =  {{\left[ {{\left( 1  -  i \right)}^{2}} \right]}^{2}}\]

\[=  {{\left[ {{1}^{2}}  +  {{i}^{2}}  -2i \right]}^{2}}\]

\[{{\left( 1  -  i \right)}^{4}}  =  {{\left[ {{\left( 1  -  i \right)}^{2}} \right]}^{2}}\]

\[={{\left[ 1  -  1  -  2i \right]}^{2}}\]

\[={{\left( 2i \right)}^{2}}\]

\[=4{{i}^{2}}\]

\[=-4        \left[ {{i}^{2}}  =  -  1 \right]\]

\[a  +  ib  = -4  +  0i \]

Ans:

$\Rightarrow $${{\left( \dfrac{1}{3}  +  3i \right)}^{3}}  =  {{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{3}}  +  {{\left( 3i \right)}^{3}}  +  3\left( \dfrac{1}{3} \right)\left( 3i \right)\left( \dfrac{1}{3}  +  3i \right)$

$=  \dfrac{1}{27}  +  27{{i}^{3}}  +  3i\left( \dfrac{1}{3}  +  3i \right)$

$=  \dfrac{1}{27}  +  27\left( -  i \right)  +  i  +  9{{i}^{2}}        \left[ {{i}^{3}}  =  -  i \right]$

$=  \dfrac{1}{27}  -  27i  +  i  +  9{{i}^{2}}                \left[ {{i}^{2}}  =  -  1 \right]$

$=  \left( \dfrac{1}{27}  -  9  \right)  +  i\left( -  27  +  1 \right)$

$a  +  ib$$=  \dfrac{-  242}{27}  -  26i$

Ans:

$\Rightarrow $${{\left( -2  -  \dfrac{1}{3}i \right)}^{3}}  =  {{\left( -  1 \right)}^{3}}\left( 2  +  \dfrac{  1  }{3}i \right)^3$

$=  -  \left[ {{2}^{3}}  +  {{\left( \dfrac{i}{3} \right)}^{3}}  +  3\left( 2 \right)\left( \dfrac{i}{3} \right)\left( 2 +  \dfrac{i}{3} \right) \right]$

$=  -  \left[ 8  +  \dfrac{{{i}^{3}}}{27}  +  2i\left( 2  +\dfrac{i}{3} \right) \right]        \left[ {{i}^{3}}  =  -  i \right]$

$= - \left[ 8  -  \dfrac{i}{27}  +  4i   -  \dfrac{2{{i}^{2}}}{3} \right]            \left[ {{i}^{2}}  =  -  1 \right]$

$=  -  \left[ \dfrac{22}{3}  +  \dfrac{107i}{27} \right]$

$a  +  ib$$=  -\dfrac{22}{3}  -  \dfrac{107}{27}i$

Find the multiplicative inverse of each of the complex numbers given in the Exercises 11 to 13.