Chapter 7: Integrals

Ans: Let  $I=\int\limits_{\dfrac{-\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}}{{{\sin }^{2}}xdx}$

Since, ${{\sin }^{2}}x$ is an even function.

Therefore , $\int\limits_{\dfrac{-\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}}{{{\sin }^{2}}xdx}=2\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{{{\sin }^{2}}xdx}$

As if $f\left( x \right)$ is an even function, then $\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)dx}=2\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx}$.

Hence,

$I=2\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{{{\sin }^{2}}xdx}$

$=2\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\dfrac{1-\cos 2x}{2}dx}$

$=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\left( 1-\cos 2x \right)dx}$

$=\left[ x-\dfrac{sin2x}{2} \right]_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}$

$=\dfrac{\pi }{2}$

Ans: Let  $I=\int\limits_{0}^{\pi }{\dfrac{x}{1+\sin x}dx}$               …….(1)

Since, $\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{a}{f\left( a-x \right)dx}$

Therefore, $I=\int\limits_{0}^{\pi }{\dfrac{\left( \pi -x \right)}{1+\sin x\left( \pi -x \right)}dx}$

$I=\int\limits_{0}^{\pi }{\dfrac{\left( \pi -x \right)}{1+\sin x}dx}$                   …..(2)

On adding equation 1 and 2-

$2I=\int\limits_{0}^{\pi }{\dfrac{\pi }{1+\sin x}dx}$

$\Rightarrow 2I=\pi \int\limits_{0}^{\pi }{\dfrac{\left( 1-\sin x \right)}{\left( 1+\sin x \right)+\left( 1-\sin x \right)}dx}$

$\Rightarrow 2I=\pi \int\limits_{0}^{\pi }{\dfrac{\left( 1-\sin x \right)}{{{\cos }^{2}}x}dx}$

$\Rightarrow 2I=\pi \int\limits_{0}^{\pi }{\left\{ {{\sec }^{2}}x-\tan x\sec x \right\}dx}$

$\Rightarrow 2I=\pi \left[ 2 \right]$

$\Rightarrow I=\pi $

Ans: Let  $I=\int\limits_{\dfrac{-\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}}{{{\sin }^{7}}xdx}$

Since, ${{\sin }^{7}}x$ is an even function.

Therefore , $\int\limits_{\dfrac{-\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}}{{{\sin }^{2}}xdx}=0$

As if $f\left( x \right)$ is an odd function, then $\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)dx}=0$.

Hence, $I=0$

Ans: Let  

$I=\int\limits_{0}^{2\pi }{{{\cos }^{5}}xdx}$      

${{\cos }^{5}}\left( 2\pi -x \right)={{\cos }^{5}}x$                   …..(1)

If $f\left( 2a-x \right)=f\left( x \right)$ then $\int\limits_{0}^{2a}{f\left( x \right)dx}=2\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx}$.

If $f\left( 2a-x \right)=-f\left( x \right)$ then $\int\limits_{0}^{2a}{f\left( x \right)dx}=0$

Since, ${{\cos }^{5}}\left( \pi -x \right)=-{{\cos }^{5}}x$

Therefore, 

$I=2\int\limits_{0}^{2\pi }{{{\cos }^{5}}xdx}$

$\Rightarrow I=2\left( 0 \right)$

$\Rightarrow I=0$

Ans:   Let $I=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\dfrac{\sin x-\cos x}{1+\sin x\cos x}dx}$                     ……(1)

Since, 

$\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{a}{f\left( a-x \right)dx}$

Therefore, 

$I=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\dfrac{\sin \left( \dfrac{\pi }{2}-x \right)-\cos \left( \dfrac{\pi }{2}-x \right)}{1+\sin \left( \dfrac{\pi }{2}-x \right)\cos \left( \dfrac{\pi }{2}-x \right)}dx}$

$\Rightarrow I=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\dfrac{\cos x-\sin x}{1+\cos x\sin x}dx}$                               ……(2)

On adding equation 1 and 2

$\Rightarrow 2I=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\dfrac{0}{1+\cos x\sin x}dx}$

$\Rightarrow I=0$

Ans: Let  

$I=\int\limits_{0}^{\pi }{\log \left( 1+\cos x \right)dx}$       …….(1)

Since, 

$\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{a}{f\left( a-x \right)dx}$

Therefore, 

$\Rightarrow I=\int\limits_{0}^{\pi }{\log \left( 1+\cos \left( \pi -x \right) \right)dx}$

$\Rightarrow I=\int\limits_{0}^{\pi }{\log \left( 1-\cos x \right)dx}$                 …….(2)

On adding equation 1 and 2-

$2I=\int\limits_{0}^{\pi }{\left\{ \log \left( 1-\cos x \right)+\log \left( 1-\cos x \right) \right\}dx}$

$\Rightarrow 2I=\int\limits_{0}^{\pi }{\log \left( 1-{{\cos }^{2}}x \right)dx}$

 $\Rightarrow 2I=\int\limits_{0}^{\pi }{\log {{\sin }^{2}}xdx}$

$\Rightarrow 2I=2\int\limits_{0}^{\pi }{\log \sin xdx}$

$\Rightarrow I=\int\limits_{0}^{\pi }{\log \sin xdx}$                                     …..(3)

Since, $\sin \left( \pi -x \right)=\sin x$

Therefore, $I=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\log \sin xdx}$                        ……(4)

$\Rightarrow I=2\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\log \sin \left( \dfrac{\pi }{2}-x \right)dx}$

$\Rightarrow I=2\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\log \cos xdx}$                                   …….(5)

On adding equation 4 and 5-

$2I=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\left( \log \sin x+\log \cos x \right)dx}$

$\Rightarrow I=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\left( \log \sin x+\log \cos x+\log 2-\log 2 \right)dx}$

$\Rightarrow I=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\left( \log 2\sin x\cos x-\log 2 \right)dx}$

$\Rightarrow I=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\left( \log 2\sin x\cos x \right)dx}-\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\log 2dx}$

Let $2x=t$

On differentiating-

$2dx=dt$

If $x=0$ then $t=0$.

Thus,

$\Rightarrow I=\dfrac{I}{2}-\dfrac{\pi }{2}\log 2$

$\Rightarrow \dfrac{I}{2}=-\dfrac{\pi }{2}\log 2$

$\Rightarrow I=-\pi \log 2$

Ans:  Let $I=\int\limits_{0}^{a}{\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{a-x}}dx}$                              …….(1)

Since, 

$\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{a}{f\left( a-x \right)dx}$

Therefore, 

$I=\int\limits_{0}^{a}{\dfrac{\sqrt{a-x}}{\sqrt{a-x}+\sqrt{x}}dx}$                                     …….(2)

On adding equation 1 and 2-

$2I=\int\limits_{0}^{a}{\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a-x}+\sqrt{x}}dx}$

$\Rightarrow 2I=\int\limits_{0}^{a}{dx}$

$\Rightarrow 2I=\left[ x \right]_{0}^{a}$

$\Rightarrow 2I=a$

$\Rightarrow I=\dfrac{a}{2}$

Ans: Let $I=\int\limits_{0}^{4}{\left| x-1 \right|dx}$

Thus, $\left( x-1 \right)\le 0$ when $0\le x\le 1$  and $\left( x-1 \right)\ge 0$ when $1\le x\le 4$

Since, $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}dx=\int\limits_{a}^{c}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{c}^{b}{f\left( x \right)}$

Therefore, $I=\int\limits_{0}^{1}{\left| x-1 \right|}dx+\int\limits_{1}^{4}{\left| x-1 \right|dx}$

$\Rightarrow I=\int\limits_{0}^{1}{-\left( x-1 \right)}dx+\int\limits_{1}^{4}{\left( x-1 \right)dx}$

$=\left[ x-\dfrac{{{x}^{2}}}{2} \right]_{0}^{1}+\left[ \dfrac{{{x}^{2}}}{2}-x \right]_{1}^{4}$

$=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{{{\left( 4 \right)}^{2}}}{2}-4-\dfrac{1}{2}+1$

$=1-\dfrac{1}{2}+8-4-\dfrac{1}{2}+1$

$=5$

Ans: Let $\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)}g\left( x \right)dx$              …….(1)

Since, 

$\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{a}{f\left( a-x \right)dx}$

Therefore, 

$\Rightarrow \int\limits_{0}^{a}{f\left( a-x \right)}g\left( a-x \right)dx$

$\Rightarrow \int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)}g\left( a-x \right)dx$   ……(2)

On adding equation 1 and 2-

$2I=\int\limits_{0}^{a}{\left\{ f\left( x \right)g\left( x \right)+f\left( x \right)g\left( a-x \right) \right\}dx}$

$\Rightarrow 2I=\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)\left\{ g\left( x \right)+g\left( a-x \right) \right\}dx}$

As, $g\left( x \right)+g\left( a-x \right)=4$.

Thus,

 $\Rightarrow 2I=\int\limits_{0}^{a}{4f\left( x \right)dx}$

$\Rightarrow I=2\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx}$

Hence, $\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)g\left( x \right)}dx=2\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)}dx$ , if $f$and $g$ are defined as $f\left( x \right)=f\left( a-x \right)$ and $g\left( x \right)+g\left( a-x \right)=4$ .

Ans: Let $I=\int\limits_{\dfrac{-\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}}{\left( {{x}^{3}}+x\cos x+{{\tan }^{5}}x+1 \right)dx}$

$\Rightarrow I=\int\limits_{\dfrac{-\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}}{\left( {{x}^{3}} \right)dx}+\int\limits_{\dfrac{-\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}}{\left( x\cos x \right)dx}+\int\limits_{\dfrac{-\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}}{\left( {{\tan }^{5}}x \right)dx}+\int\limits_{\dfrac{-\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}}{\left( 1 \right)dx}$

If $f\left( x \right)$ is an even function, then $\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)dx}=2\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)}dx$

And $f\left( x \right)$ is an odd function, then $\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)dx}=0$

Thus,

$I=0+0+0+2\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{dx}$

$=2\left[ x \right]_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}$

$=2\left[ \dfrac{\pi }{2} \right]$

$=\pi $

Hence, the correct option is C.